<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 7 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio
          Editora Scipione.  

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627271-2

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
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          Tel. (11) 3990-1810
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<P>
                                I
 Sumrio

Segunda Parte

Captulo 1 -- Nmeros 
  inteiros
 5- Subtrao de 
  inteiros :::::::::::::::::: 65
 O mgico e a ajudante: 
  ao sobre adio e 
  subtrao de inteiros ::::: 68 
 6- Adio e subtrao: 
  relaes e propriedades ::: 86
 7- Multiplicao de 
  inteiros :::::::::::::::::: 94
 8- Diviso exata de 
  inteiros :::::::::::::::::: 109 
 9- Potenciao e raiz 
  quadrada :::::::::::::::::: 118
 10- Propriedades da 
  potenciao ::::::::::::::: 137

<30> 
<P>
<tmat. medida c. 7>
<T+65>
5- Subtrao de inteiros 

  Quando queremos tirar uma quantidade de outra, efetuamos uma subtrao. Com essa ideia, vamos representar algumas subtraes de inteiros usando desenhos. 
  Continuaremos considerando que uma bolinha branca representa uma unidade positiva; uma bolinha azul representa uma unidade negativa; uma unidade positiva e uma negativa se anulam. 

Exemplos 

<R+>
_`[{para os exemplos a seguir, os esquemas com desenhos de bolinhas sero descritos_`]

o Vamos efetuar 7-2. De 7 bolinhas brancas, vamos tirar 2: sobraram 5 bolinhas brancas. 7-2=5.
 o Vamos efetuar `(-4`)-`(-1`). Nesse caso, de 4 bolinhas 
<P>
  azuis, tiramos 1: sobraram 3.
  `(-4`)-`(-1`)=-3.
<R->

  Agora, ateno! Nos quadrinhos a seguir, o menino vai efetuar 3-`(-2`). 

<R+>
_`[{histria em seis quadrinhos descritos a seguir_`]

  Um menino, com trs bolinhas brancas na mo, diz: "Tenho 3. Daqui, preciso retirar 2 bolinhas azuis. Como?"
  Ele observa dois potes: um com bolinhas azuis e o outro, com bolinhas brancas. Ele fala: "Posso pedir 2 brancas e 2 azuis para o banqueiro.  o mesmo que pedir zero ..."
  O menino segura, agora, na mo direita, trs bolinhas brancas e na esquerda, duas azuis e duas brancas. Ele diz: "Juntando 0 com 3 continuo com 3! Agora posso retirar as 2 bolinhas azuis."
<P>
  O garoto tem agora cinco bolinhas na mo direita. Ele conclui: "3-`(-2`)=5".
<R->

<31>
Exemplos 

  Vamos efetuar -2-1. 
  Comeamos com 2 bolinhas azuis. 
  Da precisamos subtrair 1, quer dizer, tirar 1 bolinha branca. Como? 
  Acrescentando 1 branca e 1 azul, que juntas do zero, continuamos com 22. 
  Agora tiramos 1: -2-1=-3. 

Toda subtrao pode ser 
  transformada em adio 

  Nas subtraes que acabamos de efetuar, voc notou que subtrair 2  o mesmo que somar -2? Que subtrair -1  o mesmo que somar 1? Que subtrair -2  o mesmo que somar 2? E que subtrair 1  o mesmo que somar -1? Observe: 
  7-2=7+`(-2`)=5 
  `(-4`)-`(-1`)=`(-4`)+1=-3 
  3-`(-2`)=3+2=5 
  -2-1=-2`+`(-1`)=-3 

  Sendo *a* e *b* dois nmeros inteiros quaisquer, efetuar a-b  somar *a* com o oposto de *b*. 

Observe

  Sabemos que 5-`(-4`)=5+4. 
  Vamos comparar as duas expresses: 5?-`(-4`)*=5?+4*. 
  Vemos, assim, que -`(-4`)=+4. 
  Da mesma forma, tem-se: 
 -`(-3`)=+3; -`(-27`)=+27, e assim 
 por diante. 

<32> 
Ao sobre adio e subtrao 
  de inteiros
  
O mgico e a ajudante 

  Para iniciar, vamos confeccionar vrias notas de 1.000 pilas em papis brancos e em papis coloridos. Cada nota branca vale 1.000 pilas e cada nota colorida  uma conta a ser paga no valor de 1.000 pilas. 
  Os pedidos ao mgico sero ditados pela classe. Eles sero sempre uma adio ou subtrao, como: `(-2.000`)+3.000; `(+2.000`)-`(-3.000`) etc. 

Adio 

  Vamos supor que o pedido seja `(-4.000`)+`(+5.000`). 
  A ajudante pega 4 notas coloridas `(-4.000`) e, mostrando-as ao pblico, entrega-as ao mgico, que as coloca na cartola. 
  Por se tratar de uma adio, a ajudante passar mais 5 notas brancas `(+5.000`) ao mgico.
<33> 
  Agora,  o mgico quem vai fazer a conta: pega 4 notas brancas e 4 coloridas da cartola e as entrega a qualquer aluno, dizendo: 
  -- Tome: zero pila. 
  Depois, mostra o resultado que ficou na cartola: 1.000.

<R+>
_`[{em um quadro de giz, est escrita a operao: -4.000+
  ++5.000=1.000_`]
<R->

Subtrao

  Vamos supor que o pedido seja a subtrao `(+2.000`)-`(-3.000`). 
  O mgico recebe da ajudante 2 notas brancas `(+2.000`), que coloca na cartola. 
  Por ser uma subtrao, o mgico deve retirar 3 notas coloridas `(-3.000`). Como no h notas coloridas na cartola, o mgico pede  ajudante: 
  -- Por favor, me d zero pila. 
  -- Em notas de qu? -- pergunta a ajudante. 
  -- Trs notas brancas e trs coloridas.
  O mgico coloca as 6 notas na cartola e diz: 
  -- Lembram o que foi pedido? Subtrair menos 3.000... Pois no! Esse pedido  uma ordem!
<P>
_`[{figura descrita a seguir_`]

<R+>
  O mgico retira trs notas coloridas da cartola. Ele fala: "Vejam! Agora vou retirar -3.000". Na cartola, esto cinco notas brancas. O mgico pergunta: "Querem ver o resultado dessa subtrao? 5.000". Em um quadro de giz, est escrita a operao: `(+2.000)-`(-3.000`)=5.000.
<R->
 
<34> 
Atividades

<R+>
65. Vamos representar a subtrao 5-`(-1`). Inicialmente, desenhamos 5 bolinhas positivas; a, acrescentamos 1 bolinha positiva e 1 negativa; finalmente, tiramos 1 bolinha negativa: 
  Ento: 5-`(-1`)=6. 
  Dessa maneira, represente e obtenha os resultados de: 
 a) 5-2  
 b) 5-`(-2`)  
 c) `(-1`)-3 
 d) `(-1`)-`(-3`)
 e) 0-3
 f) 4-5

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

66. Qualquer subtrao de inteiros pode ser transformada em uma adio de inteiros: a adio do primeiro nmero com o oposto do segundo. Por exemplo: 5-7=5+`(-7`)=-2. 
  Transforme cada subtrao dada em uma adio de inteiros, e a seguir calcule seu resultado. 
 a) 12-15  
 b) `(-1`)-`(-10`)  
 c) 18-`(-4`)  
 d) `(-10`)-5  
 e) 15-6  
 f) 0-`(-7`) 
 g) 0-7
 h) 7-7
 i) 7-`(-7`)
 j) `(-7`)-`(-7`)
<P>
 k) `(-15`)-`(-8`)
 l) `(-3`)-`(-8`)

67. A seguir, temos algumas sequncias de nmeros. Elas seguem esta regra: para passar de um elemento da sequncia para o seguinte, subtramos sempre o mesmo nmero inteiro. 
  Em cada sequncia, diga qual  o nmero subtrado e encontre seu prximo elemento. 
 a) 31, 27, 23, 19, ... 
 b) 5, 2, -1, -4, ... 
 c) 20, 26, 32, 38, ... 
 d) -12, -7, -2, 3, ... 
 e) 5, -6, -17, -28, ... 
 f) -27, -18, -9, 0, ...

68. Quando, numa subtrao, o minuendo  negativo, pode-se escrev-lo entre parnteses ou no. Por exemplo:
  `(-6`)-2=-8 equivale a -6-2=-8 
<P>
  `(-1`)-`(-6`)=5 equivale a -1-`(-6`)=5. 
  Assim, efetue: 
 a) -5-7  
 b) -9-8  
 c) -10-21  
 d) -13-8 
 e) -5-`(-4`)
 f) -8-`(-11`)
 g) -11-`(-15`)
 h) -21-`(-8`) 

69. A conta `(+5`)-`(-7`) pode ser escrita de forma mais simples: 5+7. 
  Reescreva as prximas contas de forma mais simples, e depois encontre o resultado. 
 a) `(+3`)-`(-8`)  
 b) `(+3)-`(+5`)  
 c) 2-`(-6`) 
 d) 4+`(-3`)
 e) -6+`(-5`)
 f) -2+`(-4`)

70.  verdade que --`(-17`)=-17?

71. Nas expresses numricas, primeiro efetuamos os clculos dentro dos parnteses e, depois, os clculos dentro dos colchetes. Efetue: 
 a) 7-`(4-8`) 
 b) -2-`(-13+8`) 
 c) 1-1-`(2-2`) 
 d) 1-1-`(2-4`) 
 e) 0--5-`(-7-10`) 
 f) 3-`(7-8`)-`(5-10`)

72. O senhor Silva tem cheque especial. Ele pode retirar da sua conta mais do que possui no banco. S que, assim, ele fica devendo ao banco. Nos casos a seguir, precisamos encontrar o saldo bancrio do senhor Silva. Que operao devemos efetuar? Qual  o seu resultado? 
 a) Ele tinha 7.500 e retirou 8.000. 
 b) Ele tinha saldo de -2.500 e ainda retirou 2.000. 
 c) O saldo era nulo e ele retirou 2.000. 
 d) O saldo era -1.500 e ele depositou 2.000. 

<35>
73. Para encontrar a distncia entre dois nmeros na reta dos inteiros, sempre podemos sub-
  trair o menor do maior. Por exemplo: 

<F->
  ::w:::w:::w:::w:::w:::w::>
   13 14 15 16 17 18

  16-14=2

  ::w:::w:::w:::w:::w:::w::>
  -5 -4 -3 -2 -1  0

  `(-2`)-`(-5`)=3
<F+>

  Obtenha a distncia entre: 
 a) 7 e 9 
 b) 7 e 34 
 c) 7 e -34 
 d) -16 e 27 
 e) -16 e -27 
 f) -32 e -51
<P>
74. Existem edifcios com andares negativos! Assim: o andar -1  o 1 abaixo do trreo; o -2  o 2 abaixo do trreo... 
 a) Quantos andares sobe uma pessoa que vai do andar -2 ao andar 12? 
 b) A resposta da pergunta anterior pode ser obtida com uma subtrao envolvendo os nmeros dos dois andares. Qual  essa subtrao?
 
75. A temperatura passou de -3 para 6 graus. Para saber quanto ela aumentou, efetuamos uma subtrao: 6-`(-3`)=9 
  :o a temperatura subiu 9 graus. Indique a subtrao (sem efetuar) com que se calcula o aumento da temperatura quando ela: 
 a) passa de 3 para 7 graus; 
 b) passa de -7 para -6 graus.

76. Um carregador vai sair de uma cmara frigorfica. Dentro, a temperatura  de -19 graus; fora, de 22 graus. A diferena entre essas temperaturas  calculada com uma subtrao. Indique a subtrao e, depois, 
  efetue.
 77. A parte da Lua iluminada pelo Sol tem uma temperatura de +110 graus; a parte no iluminada, de -130 graus. A diferena entre essas temperaturas  calculada com uma subtrao. Indique a subtrao e, depois, efetue.
 78. Qual  a diferena de altitude entre o avio e o submarino? Indique a operao a ser efetuada e, depois, efetue. 

_`[{esquema adaptado_`]

  avio :> altitude: +1.200
  nvel do mar :> 0
  submarino :> altitude: -300

79. Efetue: 
 a) -12+18+`(-20`)-14 
 b) -16-12-30-`(-14`) 
 c) 13+`(-17`)-`(-15`)+`(+17`) 
 d) -13-`(-19`)-11+`(-17`) 
 e) -15+11-`(-17`)-`(+13`) 
 f) -28+22+`(-22`)-`(-24`) 

<36>
80. Lus e Bia, juntos, tm R$125,00. Marcelo e Teresa esto no negativo. Juntos, os dois tm -R$52,00. 
 a) Quanto Lus e Bia passaro a ter se Lus ganhar R$46,00 e Bia gastar R$51,00? 
 b) Indique a resposta do item *a* com uma expresso envolvendo os nmeros 125, 46 e 51. 
 c) Quanto Marcelo e Teresa passaro a ter se Marcelo gastar R$199,00 e Teresa ganhar R$185,00?
 d) Indique a resposta do item *c* com uma expresso envolvendo os nmeros -52, 199 e 185.

Pensando em casa

81. Efetue: 
 a) 4+7 
 b) -4+7 
 c) -4+`(-7`) 
 d) 4+`(-7`) 
 e) 4-7 
 f) 4-`(-7`) 
 g) -4-7 
 h) -4-`(-7`) 
 i) 7-`(-4`) 
 j) -7-`(-4`) 

82. Agora, calcule: 
 a) 12-13-14 
 b) -5+8-5 
 c) 7-`(5-13`) 
 d) -3-`(2-6`)

83. No lugar de ..., coloque *=* ou *=*: 
 a) 5+(7-10)...5+7-10 
 b) -6-(2-7)...-6-2+7 
 c) -7-`(-3+5`)...-7+3-5 
 d) 6+`(-8-12`)...6+8+12

84. Este  um quadrado mgico: a soma dos nmeros de cada linha, coluna ou diagonal  sempre a mesma. No caso, a soma mgica  15. 
<P>

<F->
!::::::::::::
l 8 _ 1 _ 6 _
r::::w::::w::::w
l 3 _ 5 _ 7 _
r::::w::::w::::w
l 4 _ 9 _ 2 _
h::::j::::j::::j
<F+>

a) A partir desse quadrado, faa um outro em seu caderno, subtraindo 12 de cada nmero. 
 b) O quadrado que voc fez  mgico? Qual  a soma mgica?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

85. Numa pequena cidade, chegaram 20 novos habitantes. No entanto, 18 dos antigos habitantes se foram. O nmero de habitantes dessa cidade teve uma variao positiva: +2. 
  Para calcular a variao de uma 
<P>
  populao, efetuamos: 20-18=+2. 
  Esta tabela refere-se a uma pequena cidade. No final de 2003, ela possua 9.678 habitantes: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Ano;
  2) Novos habitantes;
  3) Habitantes que se foram_`]

<F->
!:::::::::::::::::
l 1   _ 2 _ 3 _
r:::::::w:::::w:::::w
l 2004 _ 25 _ 37 _
r:::::::w:::::w:::::w
l 2005 _ 23 _ 45 _
r:::::::w:::::w:::::w
l 2006 _ 24 _ 37 _
r:::::::w:::::w:::::w
l 2007 _ 19 _ 45 _
r:::::::w:::::w:::::w
l 2008 _ 22 _ 44 _
h:::::::j:::::j:::::j
<F+>
<P>
a) Calcule a variao (positiva, negativa ou nula) da populao em cada um dos anos indicados. 
 b) Qual era a populao da cidade no final de 2008? 

<37>
86. 
 a) Um matemtico italiano chamado Cardano foi um dos primeiros a estudar operaes com nmeros negativos. Cardano nasceu em 1501 e morreu em 1576. Quantos anos ele viveu? Indique e efetue a operao que responde a essa pergunta. 
 b) Um matemtico grego chamado Eratstenes estudou os nmeros primos. Ele viveu muitos anos antes de Cristo: nasceu em -275 e morreu em -194. Quantos anos ele viveu? Indique e efetue a operao que responde a essa pergunta.

87. Um jogo de cartas bem conhecido  o buraco. Eu e meu primo formamos uma dupla e passamos a tarde jogando contra meu pai e minha irm. No comeo, tivemos azar: ficamos devendo pontos. Depois, prevaleceu a nossa categoria, como voc pode ver nesta tabela: 

<F->
!:::::::::::::::
l Ns   _ Eles _
r::::::::w:::::::w
l -125  _  315 _
l -150  _  220 _
l  300  _ -110 _
l  420  _ -260 _
l  510  _ -200 _
l  280  _ -75  _
h::::::::j:::::::j
<F+> 

a) Calcule a soma dos pontos deles. 

 b) Calcule a nossa soma de pontos. 
 c) Qual foi a nossa vantagem final? 
 d) Indique a operao que responde  pergunta anterior.
<P>
88.
 a) O saldo bancrio do senhor Silva era de 12.000 reais e passou a ser de -7.000. Ele fez um depsito ou uma retirada? De quanto? 

_`[{figura: um senhor analisa o extrato bancrio a seguir_`]

<F->
  Banco x
  Agncia: 002
  Conta 1020-1
  Cliente: Silva

  Extrato
  Saldo: R$12.000,00
  Dia 10/Saldo: -R$7.000,00
  Dia 11/Saldo: -R$5.500,00
  Depsito: +R$10.000,00

  Saldo: ...
<F+>

b) Depois, esse saldo de -7.000 passou a ser de -5.500. Dessa vez, houve depsito ou retirada? De quanto? 
 c) Ento, quando o saldo era de -5.500, o senhor Silva depositou 10.000 reais. Qual foi o saldo resultante?
 
89. Diga se as diferenas a seguir so positivas ou negativas: 
 a) -12.578-7.113 
 b) 8.515-19.728 
 c) -4.812-`(-3.975`) 
 d) 6.005-`(-7.102`) 

_`[{a menina diz: "Algumas das atividades que voc resolveu tratam de saldos bancrios. Um dia voc vai ter conta em banco e o conhecimento sobre os nmeros negativos lhe ser til!"_`] 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<38>
6- Adio e subtrao: relaes 
  e propriedades 

Relaes entre adio e subtrao 

  No conjunto dos nmeros inteiros, a adio e a subtrao continuam sendo operaes inversas, como eram no conjunto dos nmeros naturais. 
  Por exemplo, somar 2 e subtrair 2 so operaes inversas, uma "desfaz" o que a outra "faz". Veja: -7+2=-5 e, voltando, -5-2=-7, conforme o esquema a seguir: 

<F->
::w:::w:::w:::w:::w::>
 -8 -7 -6 -5 -4
<F+>

<R+>
_`[{andando duas casas para a direita, partindo do -7, chega-se ao -5. Andando duas casas para a esquerda, partindo do -5, chega-se ao -7_`]
<R->

  Outra relao entre as duas operaes  o fato de que subtrair um nmero equivale a somar seu oposto. Por exemplo: 
<R+>
  subtrair 3  o mesmo que somar -3; assim 2-3 equivale a 2+`(-3`); 
<P>
  subtrair -4  o mesmo que somar 4; assim 5-`(-4`)=5+4=9. 
<R->
  Isso nos mostra que toda sub-
 trao  apenas um tipo de adio.  como se s tivssemos adies. Por isso, uma sequncia de adies e subtraes  chamada adio algbrica. 

  Uma adio algbrica  uma ex-
 presso numrica formada por adies e subtraes. 

Efetuando adies algbricas 

  Vamos ver uma maneira prtica de efetuar adies algbricas. 

Exemplos 

 Vamos efetuar 7+2-8-11+5-
  -3+6-1. 
  Podemos efetuar os clculos na ordem em que aparecem. Mas h uma maneira mais prtica. 
  De incio, pensamos em 7 somado com 2 somado com -8 somado com -11 etc. Isto , s pensamos em adies. Por isso, trocamos a ordem das parcelas, agrupando as parcelas positivas de um lado e as negativas de outro. Assim: 
<R+>
 parcelas positivas: 7+2+5+6.
 parcelas negativas: -8-11-3-1.
 7+2+5+6+?-8-11-3-1*=
 =20-23=-3.
<R->
  Depois, somamos separadamente as parcelas positivas e as negativas e terminamos o clculo: 20-23=-3. 
<39>
<R+>
  Em algumas expresses, podemos simplificar ainda mais o clculo de uma adio algbrica. Havendo nmeros opostos (ou simtricos), eles se anulam. Veja: 9-7+11-13+7+18-11+6-10. 
<R->
  Comeamos somando as parcelas opostas: 9-7+11-13+7+18-11+
 +6-10=

<R+>
_`[{eliminando -7, +7, +11, -11_`]
<R->

=9+18+6-13-10=33-23=10 

Propriedades da adio 

  Apresentamos um mtodo prtico para efetuar adies algbricas. Esse mtodo funciona porque a adio tem as seguintes propriedades: 
<R+>
  comutativa: pode-se trocar a ordem das parcelas sem alterar a soma; 
  associativa: pode-se associar as parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma; 
  do elemento oposto: todo inteiro tem um oposto que somado com ele resulta em zero; 
  do elemento neutro: adicionar zero no altera a soma. 
<R->
  No primeiro exemplo, no fizemos as adies na ordem em que foram escritas. Usamos a propriedade comutativa (ao trocar a ordem das parcelas) e, depois, a associativa (ao somar as parcelas positivas de um lado e as negativas de outro). 
  No segundo exemplo, usamos, alm das anteriores, a propriedade de existncia do elemento oposto (quando somamos primeiro as parcelas opostas, obtendo zeros) e do elemento neutro (os zeros foram ignorados, nem sequer os registramos).

Atividades 

<R+>
90. Efetue as adies algbricas: 
 a) 2-4-7+8-9-22+16+13 
 b) -13+5+22-7+15+18-27-10 
 c) 8-34-27+25-6+27 
 d) 115-321+73+321-228-116+
  +220

91. As duas adies algbricas a seguir tm o mesmo resultado: 
  12-33+8-21-13-20. 
  y33-21-13-20wr12+8.
  No lugar de y, que sinal se deve colocar: *+* ou *-*? E no lugar de wr?

92. Usando a ideia de operao inversa, determine o nmero inteiro que deve ser colocado no lugar de y.
 a) y-15=-21 
 b) y+15=-21 
 c) -36+y=26 
 d) -36+y=-26

93. Na passagem indicada com a seta, qual foi a propriedade utilizada? 
  -261+433+`(-233`)=:o 
  :o=-261+433+`(-233`)= 
  =-261+200=-61

94. Cada sentena a seguir nos mostra que a subtrao de inteiros no tem uma propriedade. Diga qual . 
 a) 5-2=2-5 
 b) `(7-3`)-8=7-`(3-8`) 

<40>
Pensando em casa 

95. Efetue as adies algbricas: 
 a) -7-8+24-11+32-5-39 
 b) -15+21+25-6-8-12-38 
 c) 18-43+72-123+18+56+21 
 d) 1-2+3-4+5-6 
 e) -25+61-59+88-89+26 
 f) 41-45+76-7-63-80+69

96. Theo colocou os nmeros na pirmide mgica usando um segredo. Veja: 

<F->
            +:::::
            l T  _
         +::h::::j::
         l H  _ E  _
      +::h::::j::::j::
      l -2 _  O _ -5 _
   +::h::::j::::j::::j::
   l -4 _ +2 _ +1 _ -6 _
!::h::::j::::j::::j::::j::
l -1 _ -3 _ +5 _ -4 _ -2 _
h:::::j:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>

a) Qual o segredo na colocao dos nmeros? 
 b) Qual o valor dos nmeros representados pelas letras T, H, E, O?
<P> 
97. Que nmero inteiro deve ser colocado no lugar de ...? 
 a) ...-11=-13 
 b) -23+...=-29 
 c) ...+19=17 
 d) ...-31=-37

98. Encontre o valor de x: 
 a) x+35=-18 
 b) x-35=-18 
 c) -26+x=52 
 d) x-1.735=-215

99. Nas passagens indicadas, quais foram as propriedades utilizadas? 
  `(-457`)+`(-81`)+157= 
  =`(-81`)+`(-457`)+157= 
  =`(-81`)+`(-457`)+157= 
  =-81-300=-381 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<41>
7- Multiplicao de inteiros 

  Os nmeros negativos comearam a ser estudados por volta do ano de 1500. No entanto, nem todos os matemticos daquele tempo se interessaram por esse estudo. Alguns achavam que era uma loucura fazer uma conta como 2-7. O italiano Cardano, um dos mais importantes matemticos que estudaram os negativos, chamava-os de nmeros falsos. 
  Aos poucos, os nmeros negativos foram sendo aceitos e utilizados. As pessoas passaram a entender a adio e a subtrao de nmeros negativos. Por exemplo, se algum tiver R$200,00 no banco e retirar R$300,00, logicamente ficar devendo R$100,00. Perceba que 200-300 resulta em -100. 
  A multiplicao de negativos, porm, trouxe srias dificuldades. Durante muito tempo os matemticos no souberam dizer qual era o resultado de uma operao como `(-2`)"`(-3`). De que maneira essa multiplicao poderia ser entendida? 
<P>
Descobrindo os resultados na 
  multiplicao 

  Para multiplicar nmeros inteiros, vamos utilizar os conhecimentos sobre a multiplicao de nmeros naturais. Os matemticos dos sculos XVI e XVII tambm procederam dessa maneira.  
  Sabemos que 3'4=4+4+4=12. 
  Usando essa ideia com os nmeros negativos, teremos: 
 3'`(-4`)=`(-4`)+`(-4`)+`(-4`)=-12. 
  Assim, j sabemos o resultado desta multiplicao de inteiros: 
 3'`(-4`)=-12. 
  Sabemos que, em _n, a multiplicao  comutativa. Por exemplo: 3"4=4"3. 
  Usando essa propriedade com nmeros negativos, teremos: 3'`(-4`)=`(-4`)'3. 
  Assim, descobrimos o resultado de outra multiplicao de inteiros: `(-4`)'3=-12. 
  J podemos perceber que o produto de dois nmeros com sinais diferentes (um positivo e outro negativo)  um nmero negativo. E o produto de dois nmeros negativos? 
<42>
  Outra vez, vamos pensar em multiplicaes j conhecidas: 

<F->
!:::::::::::::::
l 4'-3=-12 _
r:::::::::::::::w
l 3'-3=-9  _
r:::::::::::::::w
l 2'-3=-6  _
r:::::::::::::::w
l 1'-3=-3  _
r:::::::::::::::w
l 0'-3=0   _
h:::::::::::::::j
<F+>

  Observe essa tabela: os primeiros fatores decrescem 1 unidade, ao passo que os produtos crescem 3 unidades. Se isso continuar valendo, a tabela prosseguir 
 assim: 
<P>
<F->
!::::::::::::::::
l 4'`(-3`)=-12  _
r::::::::::::::::w
l 3'`(-3`)=-9   _
r::::::::::::::::w
l 2'`(-3`)=-6   _
r::::::::::::::::w
l 1'`(-3`)=-3   _
r::::::::::::::::w
l 0'`(-3`)=0    _
r::::::::::::::::w
l `(-1`)'`(-3`)=3 _
r::::::::::::::::w
l `(-2`)'`(-3`)=6 _
r::::::::::::::::w
l `(-3`)'`(-3`)=9 _
h::::::::::::::::j
<F+>
 
  Esse padro nos d a ideia de que a multiplicao de dois nmeros negativos resulta em um nmero positivo. 
  Uma regra prtica para efetuar a multiplicao de dois nmeros inteiros quaisquer  esta: 
<R+>
  Multiplicamos os seus mdulos. 
  O produto ser positivo se os dois fatores tiverem sinais iguais e ser negativo se os dois fatores tiverem sinais diferentes. 
<R->

Exemplos 

 Vamos efetuar `(-2`)"5. 
  Mdulo: 2"5=10. 
  Sinal: `(-`)"`(+`)=`(-`). 
  `(-2`)"5=-10.
  Vamos efetuar `(-4`)"`(-5`)"
  "`(-6`). 
  Mdulo: 4"5"6=120. 
  Sinal: `(-`)"`(-`)"`(-`)=`(+`)"`(-`)=`(-`).
  `(-4`)"`(-5`)"`(-6`)=-120.
  Observe que quando dissemos "multiplicamos seus mdulos" poderamos ter dito tambm "multiplicamos os nmeros, como se fossem positivos".  o que realmente acontece. Ao terminar, verificamos se o produto ser positivo ou negativo. 

<43>
<P>
Propriedades da multiplicao 

  Quando discutimos como multi-
 plicar nmeros inteiros, admitimos que essa operao seria comutativa, porque a multiplicao de nmeros naturais  comutativa. 
  De fato, a multiplicao de inteiros mantm todas as propriedades que a multiplicao de naturais tem. Portanto, alm da comutativa, ela tem as propriedades: 
<R+>
  associativa: por exemplo, para efetuar 2'`(-3`)'5, voc pode comear pelo produto 2'`(-3`) ou `(-3`)'5 ou ainda 2'5; o resultado  -30 em todos os casos; 
  da existncia do elemento neutro: que  1; 
  distributiva: em relao  adio; por exemplo, -5'`(-7+11`) resulta em -5'4=-20 ou tambm em -5'`(-7`)+`(-5`)'11=35-55=
  =-20. 
<R->
<P>
Anote 

  Em certas situaes, temos sequncias de clculos envolvendo adies, subtraes e multiplicaes. Nesse caso, as multiplicaes devem ser feitas antes das adies e subtraes, como j acontecia com os nmeros naturais. 
 -7+2'`(-5`)=-7+`(-10`)=-7-10=
 =-17.

Atividades 

<R+>
100. Escreva as seguintes adies em forma de multiplicao e d os seus resultados: 
 a) 7+7+7 
 b) 9+9+9+9 
 c) `(-6`)+`(-6`)+`(-6`) 
 d) `(-8`)+`(-8`)+`(-8`)+`(-8`)

101. 
 a) Observe estes nmeros: -25, -20, -15, -10. Se eles continuarem crescendo da mesma ma-
<P>
  neira, quais sero os trs prximos nmeros da sequncia? 
 b) Observe estas multiplicaes: 
  5'`(-5`)=-25.
  4'`(-5`)=-20.
  3'`(-5`)=-15.
  2'`(-5`)=-10.
  Se a sequncia continuar da mesma maneira, com o primeiro fator decrescendo, quais sero as trs prximas multiplicaes?

102. Efetue as multiplicaes. 
 a) 4'9 
 b) 4'`(-9`) 
 c) `(-4`)'9 
 d) `(-4`)'`(-9`) 
 e) `(-2`)'`(-2`) 
 f) `(-2`)'`(-2`)'`(-2`) 
 g) `(-2`)'`(-2`)'`(-2`)'`(-2`) 
 h) `(-2`)'`(-2`)'`(-2`)'`(-2`)'`(-2`) 
 i) 3'`(-72`)'0 
 j) 2'`(-5`)'93 
 k) `(-5`)'93'2 
 l) 3'0'`(-72`) 
 m) 21'`(-13`)'10 
 n) `(-10`)'`(-10`)'21

103. Calcule o valor das expresses: 
 a) 20-5'`(-4`) 
 b) -15-3'`(-5`) 
 c) 3'`(-8`)'4'`(-7`) 
 d) 100-3'5+7'`(-8`) 
 e) 3'`(-7-2`) 
 f) `(-5`)'`(4-9`) 
 g) `(-4`)'`(10-2'6`) 
 h) `(-8`)'`(4-5`)+3'`(8-10`)

104. Efetue os clculos mentalmente, anotando apenas os resultados.  fcil, basta seguir as sugestes em cada questo. 
 a) 13'`(-5`)'2 (Associe os fatores de maneira conveniente.) 
 b) `(-7`)'4'5 (Use a propriedade associativa de novo.) 
 c) 17'`(-13`)+17'13-2'3 (Lembre-se da propriedade da existncia do elemento oposto.) 
 d) 115'`(-7`)+115'`(-3`) (Note: o fator 115 foi distribudo entre as parcelas.)
<P>
105. Complete a tabela _`[no adaptada_`] de multiplicao em seu caderno. Alguns nmeros ns j escrevemos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<44>
Pensando em casa

106. Escreva as seguintes adies em forma de multiplicao e d os seus resultados: 
 a) 17+17+17 
 b) 19+19+19+19 
 c) `(-18`)+`(-18`)+`(-18`) 
 d) `(-16`)+`(-16`)+`(-16`)+`(-16`)+
  +`(-16`) 
 e) `(-17`)+`(-17`)+`(-17`) 
 f) `(-13`)+`(-13`)+`(-13`)+`(-13`)

107. Observe estas multiplicaes: 
  5"...=-35 
  3"...=-21  
  4"...=-28
  2"...=-14
 a) Nelas, o smbolo ... indica sempre um mesmo nmero. Qual? 
 b) Continuando a sequncia, quais sero as quatro prximas multiplicaes? Quais sero os seus resultados?

108. Estou jogando com um baralho diferente. As cartas tm quadrados ou bolas. Cada qua-
  drado  1 ponto positivo e cada bola preta  1 ponto negativo. Uma bola e um quadrado se anulam. 

_`[{oito cartas: quatro com cinco quadrados em cada uma e quatro com trs bolas pretas em cada uma_`]

  Durante o jogo, 3 dessas cartas sero retiradas pelos outros jogadores. Veja como vou indicar as perdas, se forem retiradas 3 cartas de 5 pontos positivos: 

<F->
  `(-3`)'5=-15
  `(-3`): perco 3 cartas.
  5: cada uma de +5 pontos.
  -15: fico com 15 pontos a 
  menos. 
<F+>
 a) Qual  o total dos pontos das minhas 8 cartas iniciais? 
 b) Qual passar a ser o total, se eu perder as 3 cartas de 5 pontos positivos? 
 c) Se, em vez de perder 3 cartas positivas, eu perdesse 3 cartas negativas, eu passaria a ter mais ou menos pontos do que eu tinha inicialmente? 
 d) Apresente a expresso numrica com que se calcula o total dos pontos que eu tinha inicialmente. 
 e) Apresente a expresso numrica com que se calcula o total dos pontos que eu passaria a ter se, das cartas iniciais, fossem retiradas 3 cartas de 3 pontos negativos. 
 f) Qual  o valor da expresso numrica do item *e*?

109. Voc pode explicar por que o produto de dois inteiros negativos  um inteiro positivo, usando como exemplo uma situao do exerccio anterior. Que situao serve de exemplo para esse fato?
 110. Se lhe perguntassem: "Quais so dois nmeros inteiros cuja soma  3?", muitas seriam as possibilidades: -7+10, +5-2, -4+7 etc. Mas se eu disser que, alm disso, o produto deles  -4, ento s h uma resposta. Qual ? 

<45> 
111. Encontre o valor do nmero inteiro x nas sentenas: 
 a) `(-12`)'x=-24  
 b) `(-17`)'x=17  
 c) x'6=18 
 d) x'`(-4`)=12
 e) 8'x=-32
 f) `(-7)'x=21
<P>
112. Determine o valor das seguintes expresses numricas: 
 a) 2-4'`(7-12`)-5 
 b) -2+`(-4`)'`(-7+12`)+5 
 c) 13-`(-1`)'`(4-5`)-2'`(-1`) 
 d) 13+2'-7-5'`(-9+4`) 
 e) -20-5'`(-2`)'`(4-7`)+8-
  -2'5 
 f) -20-6'`(-1`)'`(10-3'7`)+
  +8-5'4

113. Existem 12 multiplicaes de dois fatores inteiros que do produto 12. Uma delas  12'1. Outra  1'12. Quais so as outras? 

Desafios e surpresas

6. Um matemtico do final do sculo XVI escreveu a seguinte histria: 
  "Eu tinha 3 dvidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 vezes a dvida de 4 moedas. Fiquei 12 moedas mais rico". 
  Com essa histria, o matemtico quis explicar que `(-3`)'`(-4`)=+12. 
  Na histria, o que representam os nmeros -3, -4 e +12? Explique os sinais de cada um desses nmeros. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<46>
8- Diviso exata de inteiros

  Inicialmente, veja esta diviso de nmeros naturais: 1267=18 resto 0: diviso exata porque 18'7=126.
  Essa  uma diviso exata, pois existe um nmero natural que, multiplicado por 7, d 126. Esse nmero  18. 
  Da mesma maneira, efetuamos divises de nmeros inteiros. 
<R+>
 1. Vamos efetuar `(-15`)5. Procuramos o nmero inteiro que, multiplicado por 5, d -15. Como `(-3`)'5=-15, temos: `(-15`)5=-3. 
 2. Vamos efetuar 24`(-6`). Percebendo que `(-4`)'`(-6`)=24, conclumos: 24`(-6`)=-4. 
 3. Vamos efetuar `(-40`)`(-4`). Sabemos que 10'`(-4`)=-40. Portanto: `(-40`)`(-4`)=10. 
  Na prtica, para efetuar a diviso exata de dois nmeros inteiros: 

 Dividimos seus mdulos. 
  O quociente ser positivo se o dividendo e o divisor tiverem sinais iguais e ser negativo se o dividendo e o divisor tiverem sinais diferentes. 
 
<47>
Atividades 

114. Efetue as divises: 
 a) 364 
 b) 36`(-4`) 
 c) `(-36`)4 
 d) `(-36`)`(-4`) 
 e) 27`(-3`)3 
 f) 125`(-5`)`(-5`) 
 g) `(-64`)`(-4`)`(-4`) 
 h) `(-81`)`(-9`)`(-9`) 
 i) 0`(-17`) 
 j) `(-51`)`(-17`) 
 k) 84`(-12`) 
 l) `(-132`)`(-12`)

115. Encontre o valor de x: 
 a) x`(-17`)=3  
 b) `(-12`)'x=84 
 c) `(-90`)x=6
 d) x'`(-19`)=76

116. Diga qual  o nmero inteiro que, dividido por -12, d: 
 a) -1   
 b) 1  
 c) 0
 d) -3
 e) -7
 f) 15

117. Calcule o valor das expresses seguintes: 
 a) 11-100`(-10`) 
 b) -13+`(-800`)80 
 c) 5-`(-4-9`)`(-13`) 
 d) 5-2'`(-3`)'`(-2-6`)4+15

Pensando em casa 

118. Divida: 
 a) 72`(-9`) 
 b) `(-63`)`(-7`) 
 c) 0`(-50`) 
 d) `(-81`)`(-9`) 
 e) `(+49`)`(+7`) 
 f) `(-48`)8 
 g) 64`(-8`)

119. Veja a seguinte situao: 
  Vou pagar uma dvida em 5 parcelas de 730 reais. Qual  o total da dvida? 
  O raciocnio que leva  resposta da pergunta pode ser indicado assim: 5'`(-730`)=-3.650. 
  O resultado  negativo porque se trata de uma dvida. Agora, responda, indicando o raciocnio e o resultado, como no exemplo. 
 a) Uma empresa deve 2.400 reais. Os trs proprietrios pagaro a dvida em partes iguais. Quanto cabe a cada um? 
<P>
 b) Devo 750 reais e vou pagar essa dvida em parcelas de 250 reais. Quantas parcelas sero?

120. Calcule o valor das expresses numricas: 
 a) `(3-2'9`)5 
 b) `(3-2'9`)`(-5`)`(-3`) 
 c) `(7-2'14`)`(-21`)-`(5-2`)3 
 d) `(7-2'14`)`(-21`)-`(5-2`)
  2 
 e) 4-2'`(3-7`)`(-2`)-5 
 f) 1-7-`(4-3'2`)'`(-1-1`)'5
 
121. Escolha um nmero inteiro entre 1 e 10. Multiplique-o por 3, subtraia 6, divida o resultado por 3, some 7 e subtraia o nmero escolhido. 
 a) Quanto d? 
 b) Escolha agora o nmero -1 e faa a mesma sequncia de operaes. Quanto d? 
 c) Agora faa o mesmo com o nmero -6. Quanto d?
<P>
122. Diga qual  o quociente da diviso de: 
 a) um inteiro positivo por si mesmo;  
 b) um inteiro negativo por si mesmo; 
 c) um inteiro negativo pelo seu mdulo; 
 d) um inteiro positivo pelo seu oposto; 
 e) um inteiro negativo pelo seu oposto; 
 f) zero por um inteiro negativo.

123. A diviso xy  exata, sendo que x e y representam dois nmeros inteiros. Diga se o quociente da diviso  positivo, negativo ou nulo quando: 
 a) x>0 e y>0 
 b) x=0 e y<0 
 c) x<0 e y<0 
 d) x<0 e y>0 

<48>
Desafios e surpresas

7. Conhea os quadrados mgicos multiplicativos! Neles, multi-
  plicando-se os trs nmeros de qualquer linha, coluna ou diagonal, o produto  sempre o mesmo. 
 a) No quadrado mgico multiplicativo que est a seguir, qual  o produto mgico? 

<F->
!:::::::::::::::::::
l      _       _      _
l -20 _ -1   _ -50 _
l      _       _      _
r::::::w:::::::w::::::w
l      _       _      _
l -25 _ -10  _ -4  _
l      _       _      _
r::::::w:::::::w::::::w
l      _       _      _
l -2  _ -100 _ -5  _
l      _       _      _
h::::::j:::::::j::::::j
<F+>

b) Preencha o quadrado mgico multiplicativo que est a seguir. 
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::
l      _       _      _
l -12 _ -1   _ ...  _
l      _       _      _
r::::::w:::::::w::::::w
l      _       _      _
l ...  _ 6    _ ...  _
l      _       _      _
r::::::w:::::::w::::::w
l      _       _      _
l ...  _ ...   _ -3  _
l      _       _      _
h::::::j:::::::j::::::j
<F+>
 
c) Complete mais este quadrado mgico multiplicativo. O produto mgico  -4.096. 
<P>

<F->
!::::::::::::::::
l     _     _      _
l 2  _ ... _ ...  _
l     _     _      _
r:::::w:::::w::::::w
l     _     _      _
l ... _ ... _ ...  _
l     _     _      _
r:::::w:::::w::::::w
l     _     _      _
l ... _ 1  _ 128 _
l     _     _      _
h:::::j:::::j::::::j
<F+>

8. Encontre os valores dos nmeros inteiros *a*, *b* e *c* nas sentenas: 
 a) `(25616`)2a=-2 
 b) `(256b`)42=-2 
 c) `(2568`)c4=-2 
<P>
_`[{o menino diz: "No Desafio e surpresas 8, ateno para o sinal dos nmeros *a*, *b*, *c*!"_`] 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<49> 
9- Potenciao e raiz quadrada 

Potenciao 

  As potncias de nmeros inteiros so definidas da mesma maneira que as potncias de nmeros naturais. 

  Para quaisquer nmeros inteiros *a* e *n*, com n >1, define-se: *an*  o produto de *n* fatores iguais a *a*. 

  *an*  a potncia; sua base  *a* e seu expoente  *n*. 

Exemplos 

 `(-2`)3=`(-2`)"`(-2`)"`(-2`). 
  Logo, `(-2`)3=-8. 
  `(-5`)4=`(-5`)"`(-5`)"`(-5`)"
  "`(-5`). 
  Logo, `(-5`)4=625. 
  Veja agora as potncias de expoente 1: 

  Para todo nmero inteiro *a*, define-se: a1=a.

<50>
  Quanto s potncias com expoente zero, comecemos com um exemplo: 

<F->
!:::::::::::
l 34=81 _
r:::::::::::w
l 33=27 _
r:::::::::::w
l 32=9  _
r:::::::::::w
l 31=3  _
r:::::::::::w
l 30=''' _
h:::::::::::j
<F+>

  O expoente diminui uma unidade, a potncia fica dividida por 3.
  Essa tabela sugere qual deve ser o resultado de 30. Observe que, de cima para baixo, segundo um padro, os resultados vo sendo divididos por 3. Continuando assim, teremos 30=1. 
  Esse raciocnio pode ser feito com qualquer outra base da potncia, exceto zero. Por exemplo, nesta outra tabela a base  -5. Observe o padro: 

<F->
!::::::::::::::::
l -54=625  _
r::::::::::::::::w
l -53=-125 _
r::::::::::::::::w
l -52=25   _
r::::::::::::::::w
l -51=-5   _
r::::::::::::::::w
l -50='''   _
h::::::::::::::::j
<F+>

  O expoente diminui uma unidade, a potncia fica dividida por -5.
  Os resultados vo sendo divididos por -5. Continuando assim, teremos `(-5`)0=1. 
  Para todo nmero inteiro *a*, com a=0, define-se: a0=1. 

Observe

<R+>
 Quando a base de uma potncia  um nmero negativo, o resultado pode ser positivo ou negativo. `(-2`)3=-8 e `(-5`)4=625. 
  Se o expoente  2 (ou seja, a base est elevada ao quadrado), o resultado nunca  negativo. `(-3`)2=`(-3`)'`(-3`)=9 (o produto de dois negativos  positivo). 
  Quando a base  um nmero negativo, ele deve vir escrito entre parnteses. Quando no escrevemos os parnteses, o sinal *-*  aplicado ao resultado da potenciao. `(-6`)2=`(-6`)'`(-6`)=36 e -62=-`(62`)=-36.
<R->

<51> 
<P>
Raiz quadrada 

  Quando estudamos os nmeros naturais, vimos que extrair a raiz quadrada  a operao inversa de elevar ao quadrado. Por exemplo:
 6 :o 62=36.
 36 :o 36=6.
  Agora, no conjunto dos nmeros inteiros acontece um fato novo: existem dois nmeros diferentes que elevados ao quadrado do 36: 
 62=36 e `(-6`)2=36. 
  Como os matemticos no desejam que uma operao (como a raiz quadrada) tenha dois resultados diferentes, eles decidiram chamar de raiz quadrada de 36 o nmero inteiro no-negativo que elevado ao quadrado d 36. 36=6. 
  Como -36 representa o oposto de 36, temos: 36=6 e -36=-6. 
  Por exemplo: 
  4=2. 
  -25=-5.
  Com o smbolo !:-36, indi-
 camos de uma s vez os dois nmeros que, ao quadrado, do 366 
 e -6. 
  Em _z, a raiz quadrada pode no existir. 
  Como exemplo, considere 10. 
  O nmero 10 no  quadrado de nenhum nmero inteiro, pois 32=9 e 42=16. 
  Como no h nmero inteiro entre 3 e 4, conclumos que, em _z, no  possvel obter 10. 
  Agora, uma pergunta: Em _z, existe -4? 
  O quadrado de um nmero inteiro nunca  negativo. Portanto, os nmeros negativos no podem ser quadrados. Isso significa que os nmeros negativos no tm raiz quadrada em _z. Logo, no existe -4 em _z. 

  A extrao da raiz quadrada no tem a propriedade de fechamento no conjunto _z. 
  Em _z, no existe raiz quadrada de nmero negativo. 

<52>
Expresses numricas 

  Nas expresses numricas, as potncias e razes quadradas so efetuadas antes das multiplicaes e divises, e essas, antes das adies e subtraes. Alm disso, devem ser respeitados os parnteses, colchetes e chaves. 

Exemplos 

 -4+3'`(-2`)3+5'16=
  =-4+3'`(-8`)+5'4= 
  =-4-24+20=-8
  -7+8`(15-25`)9= 
  =-7+8`(1-5`)9= 
  =-7+8`(-4`)9= 
  =-7-29=-99=-1 
 
Atividades

<R+>
124. Indique e calcule: 
 a) a potncia de base -3 e expoente 2; 
 b) a potncia de base -1 e expoente 5.
<P>
125. Calcule: 
 a) `(-2`)3 
 b) `(-2`)5 
 c) `(-3`)3 
 d) `(-1`)4 
 e) `(-4`)0 
 f) `(-4`)1 
 g) `(-4`)2 
 h) `(-4`)3
 i) 40 
 j) 41 
 k) 42 
 l) 43 
 m) 03 
 n) 102 
 o) 103 
 p) 104

126. D o valor das potncias a seguir: 
 a) `(-5`)2  
 b) -52 
 c) `(-2`)2
 d) -24

127. A potncia 42 deveria ser lida "quatro  segunda", mas todos costumam ler assim: "quatro ao quadrado". O motivo desse costume  que 16, ou 42, pode ser representado com 16 pontos, formando este qua-
  drado: 16  "o quadrado de 4".

<F->
  g g g g
  g g g g
  g g g g
  g g g g
<F+>

  A prxima figura tambm representa uma potncia. Escreva essa potncia e o seu valor: 

<F->
  g g g
  g g g
  g g g
<F+>

128. Se existir, escreva o nmero inteiro que  a raiz quadrada de: 
 a) 16   
 b) 25   
 c) 64
 d) 1
<P>
 e) -16
 f) 100

<53> 
<F->
129. Campanha contra trabalho 
        infantil 
<F+>

  A conveno 182 adotada em 1999 sobre as piores formas de trabalho infantil foi ratificada at agora por mais de 100 pases -- s que entre as promessas e a realidade o fosso ainda  enorme. 
  A Organizao Internacional do Trabalho (OIT) usar um conceito familiar ao mundo de futebol para combater uma das maiores tragdias do mundo de hoje: a explorao do trabalho 
  infantil, que atinge mais de 250 milhes de crianas no 
  mundo. 
  A ideia  tirar as crianas entre 4 e 15 anos do mundo do trabalho, oferecendo em troca programas de insero e de educao e procurando dar outras atividades geradoras de recursos para suas famlias. 

_`[{tabela adaptada, formada por duas colunas: continente e nmero de crianas exploradas no mundo do trabalho_`]

<F->
!::::::::::::::::::::::::
l 1      _ 2          _
r::::::::::w::::::::::::::w
l sia    _ 153"106  _
r::::::::::w::::::::::::::w
l frica  _ 80"106   _
r::::::::::w::::::::::::::w
l Amrica _ 17,5"106 _
l Latina  _              _
h::::::::::j::::::::::::::j
<F+>

*Gazeta Mercantil*, So Paulo, 16 jan. 2002. p. A-9. 
  (Adaptado.) 

a) Em qual continente h maior nmero de crianas exploradas no mundo do trabalho? 
 b) Quantas crianas so exploradas pelo trabalho infantil na Amrica Latina? Escreva esse nmero s com algarismos. 
 c) Escreva esse nmero como ele  lido. 
 d) No Brasil, em alguns casos, os governos do ajuda financeira a famlias carentes para que elas mantenham seus filhos na escola. Voc acha isso certo ou errado? Ser que isso ajuda a combater o trabalho infantil?

130. Efetue: 
 a) -5+2'32+2'4 
 b) -6+2'`(-2`)3+5'70 
 c) 10+2'22-5'49 
 d) 100+3'`(-3`)3-21

131. Quantos bisavs (homens e mulheres) cada pessoa tem? D a resposta na forma de uma potncia de 2. (Observao: no vamos considerar casos incomuns, por exemplo, quando pai e me so primos irmos e tm um av em comum.) 
<P>
  Quer uma ajuda? 
  Veja o esquema: 

_`[{esquema adaptado_`]
 Legenda:
  p: pai
  m: me
  : av
  : av
 
<F->
          !::::::::
          l pessoa _
          h::::::::j
               l
       !:::::::::::::::
       l               _
     !:::           !:::
     l p _           l m _ 
     h:::j           h:::j
       l               l
   !:::::::       !:::::::
   l       _       l       _
 !:::   !:::   !:::   !:::
 l  _   l  _   l  _   l  _
 h:::j   h:::j   h:::j   h:::j
   l       l       l       l
 !:::   !:::   !:::   !:::
''' ''' ''' ''' ''' ''' ''' '''
<F+>
<P>
  Cada pessoa tem 2 pais, 4 avs e 8 bisavs. Voc per-
  cebe uma sequncia de potncias de 2? 
  Agora, responda ao exerccio.

132. Os pais dos bisavs de uma pessoa so seus trisavs. Sem considerar casos incomuns (veja exemplo na atividade anterior) faa o que se pede a seguir. 
 a) Represente com uma potncia de base 2 o nmero de trisavs da pessoa. 
 b) Diga quantos so esses trisavs. 

<54> 
133. Na primeira hora da tarde, uma pessoa conta uma fofoca a outras trs. Cada uma dessas trs conta a fofoca a trs novas pessoas durante a segunda hora da tarde. E as coisas continuam assim na terceira, quarta e quinta horas seguintes. 
  Represente com uma potncia o 
<P>
  nmero de pessoas que passa a saber da fofoca: 
 a) na primeira hora; 
 b) na segunda hora; 
 c) na quinta hora. 

134. No exerccio anterior, quantas so as pessoas que ficam sabendo da fofoca durante as cinco primeiras horas da tarde? 
 135. Aps calcular 25 e 52, diga se a potenciao tem a propriedade comutativa e ex-
  plique sua resposta. 

136. Efetue: 
 a) -7+14`(5-49`)7 
 b) -13+13'`(-1-3'22`)14 
 c) -5-`(-5`)2-`(-2-9`)'5
  10 
 d) `(-2`)2--23-16'`(23-10`)171 

Pensando em casa 

137. Observe a sequncia: 
  0, 1, 4, 9, 16, 25, ... 
<P>
 a) O que essa sequncia tem de especial? 
 b) Quais so os prximos cinco nmeros da sequncia?

138. Calculando 25'92, voc obter um nmero escrito com os mesmos algarismos usados para indicar o clculo. Qual  esse resultado? 

139. Calcule: 
 a) `(-1`)0 
 b) `(-1`)1 
 c) `(-1`)2 
 d) `(-1`)3

140. Faa uma estimativa e responda: o que voc acha que  maior: 27 ou 72? Com uma calculadora, obtenha o valor da potncia 27 e veja se sua estimativa estava correta.
 141. Nesta figura, _`[no adaptada_`] oito bolinhas esto dispostas de maneira a formar um cubo. 
  Essa representao mostra por que usamos a expresso *elevar ao cubo*. Qual  a potenciao representada na figura?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

142.
 a) Calcule as potncias de base -2 e expoentes 0, 1, 2, 3, 4 e 5. 
 b) Diga se o nmero `(-2`)100  negativo ou positivo. 
 c) Diga se o nmero `(-2`)101  negativo ou positivo.

<55>
143. Responda: 
 a) Uma potncia de base negativa e expoente par resulta em um nmero negativo ou positivo? 
 b) E se o expoente for mpar?

144. Considere as potncias: `(-2`)1, `(-2`)2, `(-2`)3, `(-2`)4, `(-2`)5 e `(-2`)6. 
  Escreva essas potncias na ordem crescente de seus valores.
<P>
145. Os nmeros inteiros que tm raiz quadrada em _z so chamados de *quadrados perfeitos*. Por exemplo, 9  um quadrado perfeito, pois 9=3. 
 a) H trs quadrados perfeitos entre -5 e 5. Quais so eles? 
 b) H dois quadrados perfeitos maiores que 100 e menores que 150. Quais so eles?

146. Represente com uma figura "o quadrado de 5". A seguir, responda: quanto  o quadrado de 5?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

147. Efetue: 
 a) 2'10-`(32-4'5`)-9
  18 
 b) 42'4'`(25-4'49`)-1
  63 
<P>
Desafios e surpresas

9. Veja uma representao de nmeros mpares com figuras: 

<F-> 
             g
         g   g
      g  g   g
   g  gg ggg gggg
   1 3 5  7 
<F+>

  O interessante  que juntando esses "nmeros figurados", a partir do primeiro, formamos quadrados. 

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

  Veja que 1+3=4=22 ou ainda que 1+3+5=9=32 e assim por diante. 
 a) Qual seria o prximo quadrado nessa sequncia? Desenhe. 
 b) Qual  a soma dos dez primeiros nmeros mpares? 
<P>
 c) Calcule: 1+3+5+...+95+
  +97+99 (isto , a soma de todos os nmeros mpares de 1 a 99). 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
 
<56> 
10- Propriedades da potenciao 

  Vamos apresentar caractersticas da potenciao que ajudam nos mais diversos clculos. 

Adicionar para multiplicar 

  Considere a multiplicao `(-5`)6"`(-5`)4. 
  A primeira potncia tem seis fatores -5; a segunda tem quatro fatores -5. Multiplicando uma pela outra obtemos dez fatores -5, no ? Ou seja: 
<P>
 `(-5`)6"`(-5`)4=`(-5`)?6+4*=
 =`(-5`)10.
  Agora, j podemos explicar o ttulo: veja que, para multiplicar, adicionamos os expoentes. E poderamos raciocinar da mesma forma se os nmeros fossem outros, desde que os dois fatores tivessem a mesma base. Portanto, conclumos: 

  Para multiplicar potncias de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. 
  Ou seja: am"an=a?m+n*, mas *a* no pode ser zero e *m* e *n* so dois nmeros naturais. 

  Para terminar o clculo, poderamos efetuar `(-5`)10. Entretanto, em Matemtica,  muito comum no fazer clculos enormes. Eles so apenas indicados. Assim, paramos por aqui. 
<P>
Subtrair para dividir 

  Veja o que acontece quando dividimos `(-5`)6 por `(-5`)4: 
 `(-5`)6`(-5`)4=?`(-5`)'`(-5`)'
 '`(-5`)'`(-5`)'`(-5`)'`(-5`)*
 ?`(-5`)'`(-5`)'`(-5`)'`(-5`)*=
 =`(-5`)'`(-5`)=`(-5`)2=25.
  Fizemos a diviso simplificando a frao. Para isso, cancelamos os fatores iguais. Tnhamos seis fatores no numerador, dos quais quatro foram cancelados com os fatores do denominador. Ficamos com 6-4 fatores.  por isso que, na diviso, podemos subtrair expoentes, ou seja, esse clculo pode ser efetuado de uma segunda ma-
 neira: `(-5`)6`(-5`)4=
 =`(-5`)?6-4*=`(-5`)2=25. 
  Mostramos duas maneiras de efetuar `(-5`)6`(-5`)4. Se tivssemos outra diviso, com outra base e outros expoentes, poderamos efetu-la das mesmas duas maneiras que mostramos. Isso significa que podemos tirar uma concluso geral para casos como esse: 
  Para dividir potncias de mesma base, mantemos a base e subtramos os expoentes. Ou seja: aman=a?m-n*, mas *a* no pode ser zero e *m* deve ser maior do que *n*. 

<57>
Elevando uma potncia a um 
  expoente 

  Voc imagina qual o resultado de (74)3? O resultado nem cabe em uma calculadora! 
  Mas  fcil indicar esse resultado. Para elevar 74 ao cubo devemos ter trs fatores 74. 
  Assim: `(74)3=74"74"
 "74=7?4+4+4*=712. 
  Note que 7?4+4+4*=
 =7?3"4*. 
  A mesma coisa poderia ser feita com outros nmeros. Veja mais um caso: `(-3`)42=`(-3`)4"
 "`(-3`)4=`(-3`)?4+4*=
 =`(-3`)?2"4*=`(-3`)8. 
  Por isso, conclumos: 
<P>
  Para elevar uma potncia a um expoente, mantemos a base e multiplicamos os expoentes. 

Distribuindo o expoente pelos 
  fatores 

  A ltima propriedade que vamos mostrar aparece em clculos como `(5'7`)3. Podemos efetuar primeiro a multiplicao dentro dos parnteses e elevar ao cubo. Obtm-se 42.875. Mas h outro jeito: `(5'7`)3=`(5'7`)'`(5'7`)'
 '`(5'7`)=`(5'5'5`)'`(7'7'7`)=
 =53'73. 
  Efetuando 53'73 obtemos 125'343=42.875. 
  Nesse clculo apareceu a seguinte propriedade: 

  Quando um produto est elevado a um expoente, esse expoente pode ser distribudo pelos fatores. 
  Veja um exemplo de como essa propriedade pode facilitar certos 
<P>
clculos: 54'24=`(5'2`)4=
 =104=10.000. 

Utilidade 

  As propriedades que apresentamos sero muito teis daqui para a frente, especialmente no prximo ano escolar, quando voc estudar lgebra. Entretanto, vamos mostrar como elas j podem ajudar em certos clculos. 

<58>
Exemplos 

  Quantas estrelas existem no 
 Universo? 
  Ainda conhecemos pouco do 
 Universo, por isso  difcil responder a pergunta. Mas podemos fazer uma estimativa, isto , um 
<P>
raciocnio que nos leve a uma resposta prxima da verdadeira (1). 
  Sabemos que as estrelas se agrupam em gigantescas galxias. Por exemplo, todas as estrelas visveis a olho nu esto em nossa galxia, chamada Via Lctea. As observaes astronmicas indicam a existncia de cerca de 2.000 bilhes de galxias e de cerca de 200 bilhes de estrelas em cada uma. 
  Com isso, estimamos o nmero de estrelas. Acompanhe: 
<R+>
  sabemos que 1 bilho =1.000.000.000=109 
<F->
:::::::::::::::::::::::::::::::::
    (1) Estimativa baseada em 
  artigo de Renato Las Casas, 
  professor do Departamento de 
  Fsica da Universidade 
  Federal de Minas Gerais 
  (UFMG), publicado no 
  Portal Uai (Disponvel em:
  ~,www.uai.com.br~, Acesso em: 
  9 set. 2008).
<F+>
<P>
  os valores dados so 2.000 bilhes =2"103"109 e 200 bilhes =2"102"109 
  o total aproximado de estrelas  o produto desses nmeros: 
  2"103"109"2"102"
  "109=2"2"103"109"
  "102"109=4"10?3+9+
  +2+9*=4"1023. 
<R->
  Isto , o nmero de estrelas deve ser maior que um bilho de bilhes! Seu valor aproximado  dado pelo nmero 4 seguido de 23 zeros. Para escrevermos nmeros grandes assim, no usamos pala-
 vras, apenas escrevemos as potncias. 

Atividades 

<R+>
148. Cada expresso dada tem duas ou trs potncias, mas pode ser representada como uma s. Faa isso, sem calcular a potncia: 
 a) `(-3`)100'`(-3`)200 
 b) 210'220'230 
<P>
 c) `(-5`)500`(-5`)200
 d) 240'250270

149. Usando as propriedades das potncias, d o resultado das expresses: 
 a) `(-3)20`(-3`)18  
 b) 7877 
 c) 240'210245
 d) 320'330347

150. Cada expresso dada pode ser representada com uma s potncia de base 6. Faa isso, sem calcular a potncia. 
 a) `(63`)2 
 b) `(62`)2 
 c) `(62`)22 
 d) `(122`)7 
 e) 25'35 
 f) 26'36 

<59>
151. Vamos fazer um quadrado quase mgico, usando potncias. Faa um quadrado como este em 
<P>
  seu caderno e complete-o, de acordo com as indicaes dadas a seguir. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l       _       _       _       _
l '''   _ '''   _ '''   _ 39 _
l       _       _       _       _
r:::::::w:::::::w:::::::w:::::::w
l       _       _       _       _
l '''   _ '''   _ '''   _ 49 _
l       _       _       _       _
r:::::::w:::::::w:::::::w:::::::w
l       _       _       _       _
l '''   _ '''   _ '''   _ 59 _
l       _       _       _       _
r:::::::w:::::::w:::::::w:::::::j
l       _       _       _
l 602_ 603_ 604_    
l       _       _       _
h:::::::j:::::::j:::::::j
<F+>

  Multiplicando-se as linhas obtm-se o produto indicado.
  Multiplicando-se as colunas obtm-se o produto indicado.
  Em cada linha (horizontal) h uma mesma base. 
  Em cada coluna (vertical) h um mesmo expoente.

152. Copie as sentenas seguintes, trocando o smbolo ... pela palavra adequada: 
 a) Para dividir duas potncias de mesma base, podemos conservar as bases e ... os expoentes. 
 b) Um nmero inteiro no nulo  elevado a um expoente e, depois, essa potncia  elevada a outro expoente. O resultado  igual ao primeiro nmero elevado ao ... dos dois expoentes.

153. Examine a estimativa do nmero de estrelas do universo, que est no texto deste item. Se cada estrela tiver 5 planetas girando em torno dela (isto  apenas uma hiptese, sem comprovao), qual ser o nmero de planetas existente? 
<P>
Pensando em casa 

154. Sendo x um nmero inteiro no nulo, represente com uma s potncia de base x: 
 a) x10'x15'x20
 b) x20'x30x10
 c) `(x4`)10x15
 d) `(x2'x3`)7
 e) `(x2`)22 
 f) `(x3`)33

155. Efetue as expresses: 
 a) `(-3`)5'`(-3`)7'`(-3`)12
  `(-3`)20 
 b) `(2'7`)5144 
 c) `(-2`)75`(-2`)30 
 d) 25'75143 
 e) `(24'114`)223 
 f) `(22'32`)3`(24'34`)
<P>
156. Observe a tabela: 

<F->
!::::::::::::::::
l 53=125     _
r::::::::::::::::w
l 54=625     _
r::::::::::::::::w
l 55=3.125   _
r::::::::::::::::w
l 56=15.625  _
r::::::::::::::::w
l 57=78.125  _
r::::::::::::::::w
l 58=390.625 _
h::::::::::::::::j
<F+>

  Agora, utilize-a para obter os resultados das expresses. Mas ateno: no ser preciso efetuar as operaes indicadas; basta usar a tabela e as pro-
  priedades da potenciao! 
 a) 390.62525 
 b) `(625`)2 
 c) `(-3.125`)125 
 d) 78.12515.625 
<P>
 e) `(53`)225 
 f) 3.125"125625

157. Represente cada expresso com uma nica potncia de 
  base 3. 
 a) 3'9'27 
 b) `(9`)3'35 
 c) 910310 
 d) `(27`)3'35 
 e) 92'27237 
 f) `(3'9`)3'35

158. _`[{use a calculadora_`]
  A expresso 232 representa 2(32). 
 a) Calcule 232. 
 b) Calcule (23)2. 
 c) Na expresso do item *b*, os parnteses so necessrios? 
 d) Quem  o maior: 232 ou (23)2? 

<60>
159. Calcule o valor da expresso: `(-11`)1111
  `(-11`)120.
  Quer uma ajuda? 
  Voc tem uma potncia elevada a um expoente:  `(-11`)1111. 
  Nesse caso, voc pode multiplicar os expoentes. Depois disso, voc ficar com uma diviso de potncias de mesma base. A, voc j sabe o que fazer...
 160. Leia este quadrinho: 

_`[{dois alunos conversam. O menino diz: "Acho que (3+2)2=
  =32+22." A menina exclama: "Essa distribuio est errada!"_`]
 
  Quem est com a razo: a menina ou o menino? Para responder, calcule: `(3+2`)2 e 32+22 e tire sua concluso. 

Desafios e surpresas

10. O resultado de 1.9921.995  um nmero enorme. Qual  o ltimo algarismo (o das unidades) desse nmero? 

_`[{o menino diz: "Dica para o Desafio e surpresas 10: Pense nas terminaes de 21, 22, 23 etc."_`] 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte